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Son figuras tridimensionales que se generan al girar un área plana en torno a una recta L、conocida como eje de rotación o revolución。
Las figuras tridimensionales pueden ser de formas muy diversas、así que no existe un único método para conocer su volúmen、pero sabemos que se forman a partir de un área plana 2D que está definida por una función、por tanto、es posible aplicar la fórmula de área entre dos curvas、pero antes aplicándole una modificaciones que dependenderán de la forma descrita por nuestra figura tridimensional。Los métodos más usados son lo siguientes：
∴ dx = F(b) - F(a) = ancho (o altura)
∴ Volumen de un cilindro = ∫(a→b) π*(f(x))²*dx
- Método de los discos。Se utiliza cuando el eje de rotación forma parte del contorno del área plana (función continua)、y por eso se forma un disco。
- Método de arandelas。
Método de los discos。
Sea R nuestra región delimitada por una función continua no negativa、sobre el eje x ó y、y las rectas verticales [x = a y x = b] ó [y = a y y = b]。
[Imágenes en X y Y]
Dependiendo del rango (o sea, ∫a→b) de nuestra función、tomaremos una partición donde y sea igual a un número cualquiera dentro del rango (denotado como k*t) y que será nuestro radio.
f(x) = radio
Y el ancho del disco、será la derivada con respecto a x、ya que es igual la resta de b - a ó xk - xk-1、esto se deduce recordando el Teorema Fundamental del Cálculo Integral。
∫(a→b)f(x)dx = f(x)|(a→b) = F(b) - F(a)
∴ dx = F(b) - F(a) = ancho (o altura)
La figura tridimensional que obtuvimos es un disco、aunque también es un cilindro、para poder conocer el volumen de nuestro cilindro、necesitamos saber la fórmula de volumen de esta figura。
Volumen de un cilindro = pi * radio al cuadradro * altura
= π*r²*h
Ahora simplemente sustituimos los valores que tenemos en nuestra fórmula:
Volumen de un cilindro = π*(f(x))²*dx
∴ Volumen de un cilindro = ∫(a→b) π*(f(x))²*dx
Ejemplo:
Supongamos que tenemos un sólido de revolución formado por un área plana creada con la función y = 1 + x/3 con rango de 1 ≤ x ≤ 12。Lo primero que debemos hacer es graficar la función。
[Función]
Lo que queda es sustituir en nuestra fórmula para volumen de un cilindro, los datos de nuestra función en particular.
Si tenemos que
∫(a→b) π*(f(x))²*dx
∴ ∫(1→12) π*(1+x/3)²*dx = ∫(1→12) π*(1 + x²/9 + 2x/3)*dx
= π*[1 + x²/9 + 2x/3]|(1→12)
= π * [(1 + 12²/9 + 2(12)/3) - (1 + 1²/9 + 2(1)/3)]
= 209π/9
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